尽职调查中的统计方法——有趣的Benford定律

尽职调查的一个核心目标在于确认企业报表数据的真实性，为了实现这一目标我们有时候不得不逐项审阅厚厚的底稿资料，结果既费时又费力，有时甚至可能由于抽样过程产生的偏差而使一些问题逃离法眼。这时候如果我们借鉴数理统计的一些方法，对企业的会计报表进行分析，那么就可以起到事半功倍的效果。

众所周知，如果抛一个骰子，那么出现1-6中任一个数字的概率都是六分之一。那么从这个常识出发分析，如果随机生成一个数字，其首位数字是1-9中任何一个数字的出现概率就应该是九分之一。但是一个被称作Benford定律却指出一堆从实际生活得出的同类随机数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，而越大的数字则出现概率越低。它的发现人Benford早年在通用电器公司（GE）实验室工作，是一名物理学家，其在一次翻阅对数表的过程中意外发现了一组随机数字的首位数字并不是如直觉反应的平均分布，反而是非常有趣的符合了某种特殊的规律。随后他又对人口、物理和化学常数等数字进行了分析，发现这些数字也符合上述规律，从而总结出了最初的Benford定律。

 表1、Benford定律分布

这时候的Benford定律仍然只是一个经验性归纳结论，并没有任何数学形式的证明。但是其普适程度之高却着实引起了数学家们的广泛关注。最终在给定条件下：

（1）数据不能是规律排序的，比如发票编号、身份证号码等；

（2）数据的单位必须一致，且大小无限制；

（3）数据不能经过人为修饰。

由Hill, T. P.成功推导出了相应公式，得出首位数字是n的分布概率为log[(n+1)/n]。

这样的适用条件正好可以和日常经济生活中产生的大多数随机数据相匹配，于是该定律很快就引起了经济学家的重视，并根据这一定律发现了2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票欺诈行为，2004年委内瑞拉的投票欺诈和2006年墨西哥投票欺诈。

对于公司的财务数据，Benford定律同样适用。1992年，Mark J.Nigrini便在其博士论文"TheDetection of Income Tax Evasion Through an Analysis of DigitalFrequencies."（Ph.D. thesis. Cincinnati, OH: University of Cincinnati, 1992.）中提出可以以Benford定律检查是否有伪帐。为了以该定律检验国内的实际情况，我们不妨以两组A股上市公司最近十年的利润表情况来分析一下。第一组是行业公认的管理层诚信、业绩优良的三家好公司：工商银行、格力电器、贵州茅台。

工商银行（601398）：

格力电器（000651）：

贵州茅台（600519）：

图表分布情况：

考虑到我们上述统计只有300个数据点左右，上图这样的差距已经很小，看来A股市场上公司的财务数据也无法逃脱Benford定律的限定。事实上根据进一步统计，可以发现大多数A股公司报表中的数字分布与Benford定律的偏差额（差异平方和）均在1%以下，所以说完全可以用Benford定律来识别国内公司的报表质量。

对第二组，我挑出了几家A股历史上证实造假或者嫌疑造假的三家公司来进行验证，这里分别是信威集团（柬埔寨电信业务被质疑造假）、欣泰电器（造假退市第一股）、獐子岛（扇贝游来游去）。其结果如下：

信威集团（600485）：

欣泰电气（300372）：

獐子岛（002069）：

从上述统计表中不难发现，这些公司财务数据中首位数字的分布与一般的A股上市公司截然不同，其概率分布和Benford定律的期望分布之间存在着显著的差异，尤其是某些数字和定律之间的差异甚至能超过10%。这样的结果在统计层面足以说明其分布极大概率与Benford分布相背离，换言之就是说其中极大可能存在着人为操控的成分。从这一角度来看，概率分布偏离的程度越大，其报表中人为操控的数据比例越大。正是因此，Benford定律可以非常方便的用于财务报表真实性的初检，如果在大样品条件下还出现了大幅度的概率偏离，那么基本上就是骗子了。基于这一原理，Benford定律在审计界得到了越来越多的重视，比如国际上的著名审计软件ACL和IDEA等就已经将基于Benford定律的测试方法作为了软件的内置功能。

但我们也要注意，Benford定律也不是万能的，其终究只是一种基于概率统计的方法，并不能为尽职调查者指明报表中人为操控的是什么。要想搞清楚企业真实的财务情况最终仍要依赖于后续具体的尽职调查工作。而且若是造假者本身就熟悉Benford定律的情况下，那么通过对操控的数据加以调整，那么这一方法也就无法奏效了。

综上所述，我们在实务中如果要使用Benford定律一般需要秉持如下原则：大幅度偏离Benford定律的基本是骗子，而没有偏离Benford定律也可能是高明的骗子。但至少这也足够我们在尽职调查前多了一个考察公司业务真实性的角度，从而减少我们被弄虚作假者所浪费的时间。

[参考资料]

1、  Hill, T. P. “A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law.”Stat. Sci. 1996 (10), 354-363.

2、  本福特定律，百度百科。

原创：徐余颛，中科院凝聚态物理博士在读。

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